Der 24 Jahre alte Angreifer unterschrieb bei den Löwen einen Dreijahresvertrag bis 2016 und ist ablösefrei.
Hain war beim FCA zuletzt nicht mehr Stammspieler, weshalb er bereits im Januar seinen Abschied angekündigt hatte. Er absolvierte 24 Bundesliga-Spiele (2 Tore) und 51 Zweitliga-Spiele (14) für die Schwaben.
"Trotz seiner erst 24 Jahre verfügt er über reichlich Erfahrung, hat Augsburg in die Bundesliga geschossen", sagte 1860-Sportdirektor Florian Hinterberger. Wie die drei bisherigen Zugänge Daniel Adlung, Sebastian Hertner und Yannick Stark passe Hain "genau ins Anforderungsprofil" der Sechziger.
Die Löwen hätten sich "sehr um mich bemüht und mir aufgezeigt, wie sie in ihrem Konzept mit mir planen. Für mich war das einfach stimmig", sagte Hain.
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